初高衔接：平方平均数与统计，算术平均数与平方平均数
初高衔接：平方平均数与统计，算术平均数与平方平均数
初高衔接：毕达哥拉斯与调和平均数
初高衔接：射影定理和几何平均数
初高衔接：几何视角下的基本不等式：算术平均数和几何平均数
笔者已经分别介绍了三种平均数，接下来是最后一种平均数：平方平均数
一、平方平均数
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平方平均数（quadratic mean），又名均方根（Root Mean Square），是指一组数据的平方的平均数的算术平方根。
如果用
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来表示数据，那么
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二、平方平均数的数学应用
很遗憾，笔者并没有在高中数学中找到平方平均数的具体应用
不过，我们可以借助这个理解方差以及标准差
根据初中所学，
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我们发现，如果将方差开方就会得到
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我们如果将
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那么实际上这就是
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的平方平均数
我们把
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记作
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，称为这组数据的标准差，读作sigma，就是
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的小写
即
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至于为什么要开根号搞出这么一个东西呢?
我们先回顾一下方差的作用：方差是用来衡量数据同平均值的偏离程度，方差越大，数据的离散程度就越大
实际上如果原始数据的单位为
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,那么方差的单位就是
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,单位不同，方差并不能直接让我们感知到数据是怎么离散的，因为平方的关系，方差可能远远大于原始数据.
但是标准差是方差的平方根，换而言之，标准差的单位和原始数据是一样的！
标准差本质上也是一种平均数！是数据相对平均数距离
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的平方平均数！
所以标准差就可以理解为数据相对于平均数的平均距离！
这个我们会在高三的正态分布中见识到它的威力，不过这里我们暂且搁置一笔
正态分布图像
三、平方平均数在高中物理中的应用
我们简要提一下匀加速直线中的物理公式
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我们经常关心的是，物体在运动过程中的速度
比如
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那么运动员在50m的速度快还是在5s的时候速度快呢？
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得
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那么五秒时的速度，
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而50m的速度则是,
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,得
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显然，中间位移的速度更大！这也是符合常识的，启程一半的时间肯定是大于后一半的时间，到位移中点时，时间早已过去一半！
也就是说位移中点速度大于中间时刻速度
下面我们给出数学证明
假设初始速度为
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，最终速度为
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位移中点可以用两个式子求解
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右边相等，那么
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那么
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而时间中点就是平均速度，
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等等！如果我们换个字母呢？
就是比较
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和
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换而言之，就是算数平均数和平方平均数的比较！
四、算数平均数和平方平均数
根据均值不等式
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高中阶段，我们只需要明白n=2的情况
下面我们将证明
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这里要用到分析法，可以参考初高衔接：基本不等式的基本运用
只需证
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只需证
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也就是
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整理得
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，显然成立，因此证明完毕
因此我们得到了十分重要的结论：
算数平均数小于等于平方平均数
它的物理意义是中间时刻速度小于中间位移速度！
望读者有所收获
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